Funksionet trigonometrike

Funksionet trigonometrike

Funksionet trigonometrike (janë funksione të një këndi. Ato janë të rëndësishme për studimin ose zgjidhjen e trekëndëshit dhe modelimin e dukurive periodike. Funksionet trigonometrike përkufizohen si herës i dy brinjëve të trekëndëshit kënddrejtë. Ato gjithashtu përkufizohen edhe si gjatësia e segmenteve të caktuara në rrethin trigonometrik (rrethi njësi). Sipas përkufizimit më modern ato mund të merren edhe si se

ri të pafundme ose si zgjidhje të disa ekuacioneve diferenciale. ??? ato lejojnë një zgjerim dhe mund të përkufizohen edhe për vlera nga bashkësia e numrave kompleks.

Ekzistojnë 6 funksione trigonometrike, në fillim do ti përkufizojmë ato në një trekëndësh këndrejt

Trekëndëshi kënddrejt përmban një kënd të drejtë 90° ose (π/2 radian) të cilin e shënojmë me C. Këndet A dhe B mund të ndryshojnë. Funksionet trigonometrike të një këndi i përcaktojmë si herës i brinjëve të trekëndëshit këndrejt.

Le të jetë A, këndi i një trekëndëshi të çfarëdoshëm këndrejt për brinjët e të cilit i marrim këto emërime

Hipotenuza është brinja që është përball këndit të drejtë (brinja më e madhe) në këtë rast e kemi shënuar me h.

Kateti përballë këndit është në këtë rast brinja a.

dhe Kateti ku shtrihet këndi në rastin tonë është brinja b.

Të gjithë trekëndëshat në planin Euklidian shumën e këndeve të brendshme e kanë 180 ° (π radian); prandaj shuma e dy këndeve tjera të trekëndëshit këndrejt është 90°. Përkufizimet që do ti japim më poshtë vlejnë për një kënd i cili ka një vlerë e cila shtrihet mes 0 dhe 90°. Këtë përkufizim ne më vonë me anë të rrethit trigonometrik do ta zgjerojmë edhe për kënde tjera.

Sinusi

Sinusi është herësi në mes katetit përballë dhe hipotenuzës. Në rastin tonë

Kemi parasysh se herësi nuk varet nga përmasat e trekëndëshit dhe ky herës është i njëjtë për të gjithë trekëndëshat e ngjashëm.

Kosinusi

Kosiniusi është herësi midis katetit përbri dhe hipotenuzës 

Tangjenti

Tangjenti i një këndi është herësi në mes katetit përballë dhe katetit ku shtrihet këndi d.m.th

                                    

                        

Kosekanti

Kosekanti i këndit është herësi në mes hipotenuzës dhe katetit përballë:

 

Sekanti

Sekanti është herësi në mes hipotenuzës dhe katetit ku shtrihet këndi:

 

Kotangjenti është herësi në mes katetit ku shtrihet këndi dhe katetës përball këndit:

Funksionet trigonometrike për këndin e gjerë

 

Të gjitha f.t të këndit θ mund të paraqiten gjeometrikisht në rrethin trigonometrik me rreze një njësi dhe me qendër në pikën O.

Ndryshe të gjitha f.t. mund të përkufizohen në terma të rrethit njësi me qendër në pikën O (shih figurën djathtas).

Përkufizimi i funksioneve trigonometrike me seri të pafundme

Duke përdorur argumente gjeometrike dhe vetitë e limiti, mund të tregojmë se derivati i sinusit është kosinusi dhe derivati i kosinusit është negativi i sinusit. Në analizë këndet maten me radian tani duke përdorur seritë e Taylorit mund të tregojmë se plotësohen identitetet e mëposhtme

 

 

këto identitete në disa raste përdoren edhe si përkufizim për sinus dhe kosinusin.

Funksionet tjera kanë një zbërthim në seri i cili është shumë i komplikuar dhe shfrytëzon terma të disa funksioneve të cilat janë joelementare. Zbërthimi i tangjentit është

 

ku

Un është numri i n i permutacionit,

Bn është Numri i Bernoullit, dhe

En është Numri i Ojlerit.